Основные понятия. Свойства простейших геометрические фигур.

Прямая и точка

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. 
Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C,... . 
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c,... . 


 

Прямая бесконечна. На рисунке изображается только ее часть, но мы представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны. 

Аксиома 1 
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 

Аксиома 2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. 

 

Если две прямые имеют общую точку, то говорят что они пересекаются. 
Если две прямые не имеют общих точек, то говорят что они не пересекаются. 


Прямая a пресекает прямую b в точке A. A – точка пересечения прямых a и b. 

 

Точки A и B принадлежат прямой a. Тоска С не принадлежит прямой a.
Соответственно точки С и B принадлежат прямой b. Тоска A не принадлежит прямой b.
Так же говорят точки A и B лежат на прямой a, а точка С не лежит.


 

Прямую можно обозначить двумя точками лежащими на ней. Прямую с можно обозначить AB. 


Отрезок

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками, которые называются концами отрезка. 

 

Точки прямой a, расположенные между точками A и B называются «отрезком AB». A и B – концы отрезка AB. 

Аксиома 3 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 

 

На прямой b три точки A, B и С. Точка В лежит между точками A и С или можно сказать, что точка В разделяет точки A и С. Иначе говоря, А и С лежат по разные стороны от точки B. 

 

На прямой с точка X лежит между точками A и B, можно сказать X принадлежит отрезку AB. Точка Y не лежит между точками A и B, поэтому она не принадлежит отрезку AB. 

Аксиома 4 
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. 

 

Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB.
При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
Два отрезка называются равными, если равны их длины. 


Если взять на отрезке AB точку, пусть это будет точка С. То длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB. Это можно записать так AB = AC + CB 

 

Обычно слово отрезок не пишут, а записывают название концов отрезков заключенными в квадратные скобки. Т.е. можно записать «отрезок AB» или [AB].

Полупрямая, луч. Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от фиксированной точки этой прямой, и самой этой точки, называемой началом луча или начальной точкой полупрямой.    Луч обозначается, так же как и прямая, строчными латинскими буквами a, b, c, ..., либо записью вида [AB), где A – начало луча, а B – точка лежащая на луче.  Разные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными полупрямыми. Полупрямые AC и AB называются дополнительными.    Аксиома На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. Перпендикулярные прямые   Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.  Прямая a пересекается с прямой b под прямым углом в точке A. Можно зависать используя значок перпендикулярности: a ⊥ b. Это читается так: прямая а перпендикулярна прямой b.  Следует заметить, что смежный угол и вертикальный угол с прямым углом тоже прямые.  Теорема  Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.    Доказательство.  Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b.  Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость. Теорема доказана.    Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. AB – перпендикуляр к прямой a. Точка A – основание перпендикуляра. Параллельные прямые   Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.  Для обозначения параллельности прямых используется символ ||.  a || b – прямая a параллельна прямой b.  Аксиома Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не боле одной прямой, параллельной данной.    Прямые BC и AD пересекаются прямой AB. Прямая AB по отношению к прямым BC и AD называется секущей.  Если точки С и D лежат в одной полуплоскости от секущей AB, то углы CBA и DAB называются внутренними односторонними.    Если точки K и M лежат в одной полуплоскости от секущей AB, то углы KBA и MAB называются внутренними накрест лежащими.    Если у пары внутренних накрест лежащих углов ( угол 1 и угол 2) один из углов заменить на вертикальный ему ( заменить угол 2 на угол 3), то полученные углы называются соответственными углами (угол 1 и угол 3) данных прямых с секущей. Признак параллельности прямых. Теорема  Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны Полуплоскость Совокупность всех точек, лежащих по одну сторону от прямой, называется полуплоскостью.  Аксиома  Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.  Прямая a разбивает плоскость на две полуплоскости.    Отрезки могут лежать в одной полуплоскости или в разных полуплоскостях. Так отрезки AB и CD лежат в одной полуплоскости, а отрезок EF в другой полуплоскости. Легко можно заметить, что если отрезок лежит в одной полуплоскости, то и концы отрезка лежат в одной полуплоскости и отрезок не пересекает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости.    Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. Точка N лежит в одной полуплоскости, а точка M лежит в другой полуплоскости. Отрезок MN пересекает прямую a.