Движение.

Преобразование фигур

 

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то получается новая фигура. Одна фигура получена из другой преобразованием. 

 

Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Такое преобразование переводит две любые точки X и Y одной фигуры в точки X` и Y` другой фигуры так, что XY = X`Y`. 

 

Преобразование, обратное движению, также является движением.


Свойства движения

Теорема. 

Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. 

Доказательство. 

Пусть есть три точки A, B и С, которые лежат на одной прямой и точка B лежит между точками A и С. 
Докажем, что точки A`, B` и C` лежат на одной прямой. 
Если точки A`, B` и C` не лежат на одной прямой, то эти точки являются вершинами треугольника. Поэтому A`C`Докажем, что B` лежит между A` и C`. Тогда выполняются равенства AB=A`B`, AC=A`C`, BC=B`C`, AB+BC=AC. Отсюда следует, что A`B`+B`C`=A`C`. Это означает, что точка B` лежит между точками A` и C`.Теорема доказана.

Следствие из теоремы

1.Отрезок движением переводится в отрезок.
2.Луч при движении переходит в луч, прямая – в прямую.
3.Треугольник движением переводится в треугольник.

Теорема. 

При движении сохраняются углы между полупрямыми.



Пусть полупрямые AB и BC не лежат на одной прямой и образуют угол. При движении полупрямые переходят в A`B` и A`C` соответственно. Проведем отрезок BC и B`C`. Получим треугольник ABC и A`B`C`. Так как при движении расстояния сохраняются, то треугольники ABC и A`B`C` равны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно углы ABC и A`B`C` равны. Теорема доказана

Симметрия относительно точки





Есть O – фиксированная точка и точка A – произвольная точка. Проведем прямую через точки AO. Отложим от точки O отрезок OA` равный OA, так чтобы OA и OA` были дополнительными. Тогда точка A` называется симметричной точке A относительно точки O.



Преобразование фигуры F в фигуру F`, при котором каждая ее точка A переходит в точку A`, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. Тогда фигуры F и F` называются симметричными относительно точки O.
Если преобразование симметрии переводит фигуру в саму себя, то такая фигура называется центрально-симметричной. Параллелограмм – центрально-симметричная фигура.

 

Свойство симметрии относительно точки Теорема. Преобразование симметрии относительно точки является движением.    Доказательство.  Пусть A и B две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки A` и B` Треугольники AOB и A`OB` равны по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ A`OB`, как вертикальные, AO = OA`, BO = OB` - по построению). Следовательно, AB = A`B`, а это значит симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана. Симметрия относительно прямой   Есть прямая l и точка A не лежащая на прямой. Опустим из точки A на прямую l перпендикуляр. На продолжении этого перпендикуляра отложим отрезок OA` = OA. Точка A` является симметричной точке A относительно прямой l.    Преобразованием симметрии относительно прямой l, называется такое преобразование фигуры F в фигуру F`, при котором каждая ее точка A переходит в точку A`, симметричную относительно прямой l. Такие фигуры F и F` называются симметричными относительно прямой l. Если преобразование фигуры относительно прямой l переводит ее в саму себя, то эта фигура называется симметричной относительно данной прямой l, а прямая l называется осью симметрии фигуры.    Так ромб симметричен сам себе относительно своих диагоналей. Диагонали ромба являются его осями симметрии. Свойство симметрии относительно прямой Теорема. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.  Доказательство. Пусть у нас есть декартова система координат. Пусть произвольная точка A фигуры F переходит в точку A` фигуры F`. По определению симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A` равные ординаты, а абсциссы отличаются знаком.  Пусть есть две точки A и B, которые переходят в точки A` и B`.  Получаем:  Поэтому AB = A`B`. Это означает, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана. Поворот Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Угол на который поворачивается фигура, относительно точки, называется углом поворота.  Параллельный перенос Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки одной фигуры смещаются в одном и том же направлении на равное расстояние.  Пусть есть произвольная точка A (x; y) фигуры F и точка A` (x+a; y+b) фигуры F`. Параллельным переносом называется такое преобразование фигуры F, при котором любая ее точка с координатами (x; y) переходит в точку с координатами (x+a; y+b), где a и b одни и те же для всех точек (x; y). Свойство параллельного переноса Теорема. Параллельный перенос есть движение.  Доказательство. Пусть есть две произвольные точки A(x1;y1) и B(x2;y2). Тогда, при параллельном переносе получаем точки A` (x1+a;y2+b) и B` (x2+a;y2+b).  Как видно AB = A'B', а следовательно параллельный перенос является движением. Теорема доказана. Сонаправленность полупрямых Полупрямые называются одинаково направленными (сонаправленными), если они совмещаются параллельным переносом.  Если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые a и с тоже одинаково направлены. a, b и с – сонаправленные полупрямые.  Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой. Преобразование подобия Если при преобразовании фигуры F в фигуру F` расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз, то такое преобразование называется преобразованием подобия. Т.е. произвольные точки AB фигуры F переходят в точки A`B` фигуры F`, так что A`B` =k*AB. Число k – это коэффициент подобия.