Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Теорема 

Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны. 

 

Доказательство 

Пусть a и b – перпендикулярные прямые, a1 и b1 – параллельные им пересекающиеся прямые. 
Если прямые a, b, a1, b1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанными в теореме свойством, кА это известно из планиметрии. 
Предположим, что прямые е лежат в одной плоскости. Тогда прямые a и b лежат в плоскости α, а прямые a1 и b1 – в некоторой плоскости α1. По теореме о признаке параллельных прямых плоскости α и α1 параллельны. Пусть С – точка пересечения прямых a и b, а точка С – точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых a и a1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые a и a1 в точках A и A1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через B и B1 точки ее пересечения с прямыми b и b1. 
Четырехугольник CAA1C1 и CBB1C1 – параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник ABB1A1 так же параллелограмм. У него стороны AA1, BB1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC1. Следовательно, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые AA1 и BB1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и α1 по параллельным прямым AB и A1B1. 
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Δ ABC = ΔA1B1C1 (по третьему признаку равенства треугольников). ∠ ACB = ∠A1C1B1 = 90º. Следовательно, прямые a1 и b1 перпендикулярны. Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. 

Теорема 

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной прямой. 

 

Доказательство 

Пусть a – прямая, перпендикулярная прямым b и с в плоскости α. Тогда прямая a проходит через точку A пересечения прямых b и с. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости α. 
Проведем произвольную прямую x через точку A в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, с и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X. . 
Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AA1 и AA2. Треугольник A1CA2 равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению. Треугольник A1BA2 так же равнобедренный. Следовательно, Δ A1BC = ΔA2BC по третьему признаку равенства треугольников. 
Из равенства треугольников A1BC и A2BC следует равенство углов A1BX и A2BX, следовательно, равенство треугольников A1BX и A2BX по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон A1X и A2X, следует, что A1XA2 равнобедренный. Поэтому его медиана XA является высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.


Свойство перпендикулярной прямой и плоскости

Теорема 

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 

 

Доказательство 

Пусть a1 и a2 – две параллельные прямые и α - плоскость, перпендикулярная прямой a1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой a2. 
Проведем через точку A2 пересечения прямой a2 с плоскостью α произвольную прямую x2 в плоскости α. Проведем в плоскости α через точку A1 пересечения прямой a1 и α прямую x1, параллельную прямой x2. Так как прямая a1 перпендикулярна плоскости α, то прямые a1 и x1 перпендикулярны. По теореме о перпендикулярности прямых в пространстве параллельные им пересекающиеся прямые a2 и x2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая a2 перпендикулярна любой прямой x2 в плоскости α. A это значит, что прямая a2 перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.

Свойство прямых перпендикулярных плоскости Теорема  Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.    Доказательство  Пусть a и b – две прямые, перпендикулярные плоскости α.  Предположим, что прямые a и b не параллельны.  Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости α. Проведем через точку С прямую b`, параллельную прямой a. Прямая b` перпендикулярна плоскости α. Пусть B и B` - точки пересечения прямых b и b` с плоскостью α. Тогда прямая BB` перпендикулярна пересекающимся прямым b и b`. А это невозможно и противоречит предположению. Теорема доказана. Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.  Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.    AB – перпендикуляр к плоскости α.  AC – наклонная, CB – проекция.  С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра. Теорема о трех перпендикулярах Теорема.  Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.    Доказательство.  Пусть AB – перпендикуляр к плоскости α, AC – наклонная и с – прямая в плоскости α, проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую CA` параллельную прямой AB. Она перпендикулярна плоскости α. Проведем через прямые AB и A`C плоскость β. Прямая с перпендикулярна прямой CA`. Если она перпендикулярна прямой CB, то она перпендикулярна плоскости α, а значит, и прямой AC. Обратная теорема о трех перпендикулярах Теорема.  Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.    Доказательство.  Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана. Перпендикулярные плоскости   Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.  Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Они пересекаются по прямой с. Плоскость γ перпендикулярна с и пересекает плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Признак перпендикулярности плоскостей Теорема  Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.    Доказательство  Пусть α - плоскость, b – перпендикулярная ей прямая, β - плоскость, проходящая через прямую b, и с – прямая, по которой пересекаются плоскости α и β. Следует доказать, что α и β перпендикулярны.  Проведем в плоскости α через точку пересечения прямой b с плоскостью α прямую a, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые a и b плоскость γ. Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямым a и b. Так как прямые a и b перпендикулярны, то плоскости α и β перпендикулярны. Теорема доказана. Расстояние между скрещивающимися прямыми Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.    Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Свойства Теорема  Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и при том только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.    Доказательство  Пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них параллельные плоскости α и β. Прямые, пересекающие прямую a и перпендикулярные плоскости α, лежат в одной плоскости (γ). Эта плоскость пересекает плоскость β по прямой a`, параллельной a. Пусть B – точка пересечения прямых a` и b. Тогда прямая AB, перпендикулярная плоскости α, перпендикулярна и плоскости β, так как β параллельна α. Отрезок AB – общий перпендикуляр плоскостей α и β, а значит, и прямых a и b.  Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых a и b есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую b`, параллельную b. Прямая CD перпендикулярна прямой b, а значит, и b`. Так как она перпендикулярна прямой a, то она перпендикулярна плоскости α, а значит, параллельна прямой AB. Выходит, что через прямые AB и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые AC и BD, а это невозможно, что и требовалось доказать.