Четырехугольники.

Четырехугольник

Четырех угольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершины четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих эти точки отрезков (стороны четырехугольника). При этом: 
1. ни какие три данные точки не лежат на одной прямой; 
2. соединяющие эти точки отрезки не должны не пересекаться. 

 

Точки A, B, C, D – вершины четырех угольника. 
Отрезки AB, BC, CD, DA – стороны четырехугольника. 

Вершины четырех угольника называются соседними вершинами, если они являются концами одной из его сторон. Например, вершины A и B – соседние. 
Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими вершинами. Например, вершины A и С – противолежащие. Отрезки, которые соединяют противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. AC и BD – диагонали четырехугольника. 

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними (смежными) сторонами. Например, AB и BC – соседние стороны. Стороны не имеющие общих вершин, называются противолежащими сторонами. Например, AB и CD – противолежащие стороны. 
Четырехугольник обозначается указанием его вершин, например ABCD. В обозначение четырехугольника стоящие рядом вершины должны быть соседними. Т.е. обозначить четырехугольник ABDС нельзя (B и D – не соседние вершины). 

 

Четырехугольники A1B1C1D1 и ABCD отличаются тем, что у одного диагонали пересекаются, а у другого нет. Четырехугольники у которых диагонали пересекаются будем называть выпуклыми. Сумму длин всех сторон четырехугольника будем называть периметром. P = AB + BC + CD + DA.

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. 

 

Теорема. 

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. 
Δ AOD = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, ∠ OBC = ∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. 

Теорема. 

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. 

 

Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. 
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB = ∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая). 
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана. 

Теорема. 

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм. 

 

Доказательство. 

Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA. 

 

Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, 
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + #8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º. 
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.


Свойства параллелограмма

Теорема. (Свойство диагоналей параллелограмма) 

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 

 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB1, равный DO. 
По предыдущей теореме AB1CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB1 совпадает с прямой AB. 
Также доказывается, что BC1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С1. параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB1CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. 

Теорема. (Свойство противолежащих сторон параллелограмма). 

У параллелограмма противолежащие стороны равны. 

 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O. 
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана. 

Теорема. (Свойство противолежащих углов параллелограмма). 

У параллелограмма противолежащие углы равны. 

 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O. 
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA. 
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.

Прямоугольник. Признак прямоугольника

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. 

 

Теорема. 

Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником. 

Доказательство. 

Пусть дан параллелограмм ABCD и ∠ A = ∠ B = ∠ С = ∠ D. 

Углы A и B являются внутренними односторонними, а значит их сумма равна 180 º. По условию они равны, значит каждый из них равен 90 º. Значит, ∠ A = ∠ B = ∠ С = ∠ D = 90 º. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. Теорема доказана.

Свойства прямоугольника

Теорема (свойство прямоугольника). 

Диагонали прямоугольника равны. 

 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный прямоугольник. 
Δ DAB = Δ CAB по первому признаку (∠ DAB = ∠ CBA, AD=BC, как противолежащие стороны параллелограмма, AB – общая), поэтому DB=AC. Теорема доказана.

Ромб. Признаки ромба.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. 

 

Теорема. 

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб. 

 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм и AC ⊥ BD. 
Δ AOB = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ BOC, по условию, AO = OC – по свойству диагоналей параллелограмма, BO – общая). Следовательно, AB = BC. По свойству противолежащих сторон параллелограмма AB = DC, BC = AD, т.е. все стороны равны, значит ABCD – ромб. Теорема доказана. 

Теорема. 

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб. 

 

Пусть ABCD – данный параллелограмм и ∠ CAB = ∠ CAD. 
∠ CAD = ∠ ACB как внутренние накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC. А по условию ∠ CAB = ∠ CAD, следует что Δ ABC – равнобедренный (∠ CAB = ∠ ACB, признак равнобедренного треугольника). Поэтому, AB = BC. Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Тогда AB = BC = CD = AD. Таким образом, ABCD – ромб. Теорема доказана. 

Свойство ромба.



 

Теорема (свойства ромба). 

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный ромб. Диагонали ромба пересекаются в точке O. 
По свойству параллелограмма AO = OC, значит BO – медиана Δ ABC. А так как треугольник ABC - равнобедренный, то по свойствам медианы равнобедренного треугольника проведенной к основанию, BO является также высотой и биссектрисой. Значит прямая BO ⊥ AC и ∠ ABO = ∠ CBO. Теорема доказана.

Квадрат. Признак квадрата.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. 

 

Квадрат обладает следующими свойствами: 
1. у квадрата все углы прямые; 
2. диагонали квадрата равны; 
3. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. 

AB=BC=CD=DA 
∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 ° 
AC ⊥ BD 
AC = BD 

Теорема. 

Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то этот прямоугольник квадрат. 

Доказательство. 

Прямоугольник является параллелограммом, а параллелограмм, у которого диагонали пересекаются под прямым углом это ромб. То у ромба все стороны равны. Значит мы имеем прямоугольник у которого все стороны равны, а по определению это и есть квадрат. Теорема доказана.

Теорема Фалеса

Теорема. 

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. 

 

Доказательство. 

Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3. 
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2. 
Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. 

 

Теорема. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. 

 

Доказательство. 

Пусть дан Δ ABC и его средняя линия ED. 
Проведем прямую параллельную стороне AB через точку D. По теореме Фалеса она пересекает отрезок AC в его середине, т.е. совпадает с DE. Значит, средняя линия параллельна AB. 
Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Четырехугольник AEDF – параллелограмм. По свойству параллелограмма ED=AF, а так как AF=FB по теореме Фалеса, то ED = ? AB. Теорема доказана.

Трапеция   Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. ABCD – трапеция.  Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции.  Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.  BC и AD – основания трапеции.  AB и CD – боковые стороны трапеции.    Трапеция EFGI – равнобокая трапеция. У этой трапеции боковые стороны равны. EF = GI.  Отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. ST – средняя линия трапеции. Свойства трапеции Теорема.  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.    Пусть ABCD – данная трапеция.EF – средняя линия трапеции.  Проведем через вершину B и точку F прямую. Пусть эта прямая пересекает прямую AD в некоторой точке G.  Δ CFB = Δ FDG по второму признаку равенства треугольников (CF = FD, по построению, ∠ BCF = ∠ ПВА, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и DG и секущей CD, ∠ CFB = ∠ DFG, как вертикальные). Значит BC = DG и BF = FG.  Поэтому, средняя линия трапеции EF является средней линией треугольника ABG. По свойству средней линии треугольника EF || AD, а    Теорема доказана. Теорема о пропорциональных отрезках Теорема.  Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.    Доказательство.  Пусть стороны угла A пересекаются параллельными прямыми в точках B, B1, C, C1. Теоремой утверждается, что    Разделим отрезок AC на n равных частей. Пусть δ – длинна отрезка деления и AC = nδ.  Возможны два случая:  1) Существует такое n, при котором B – точка деления. То есть существует m < n такое, что AB = mδ. Проведем через точки деления отрезка AC прямые, параллельные прямой CC1. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок AC1 на равные отрезки некоторой длины δ1. Получаем AB1 = mδ1, AC1 = nδ1. Из этого    2) Ни при каком n, B1 не является точкой деления. Допустим, что      Отложим на луче AC1 отрезок AD = (AC1/AC)*AB . При этом AD < AB1. Разобьем AC1 на достаточно большое число n равных частей. Проведем через точки деления прямые, параллельные СС1. При достаточно большом n на отрезке DB1 будут точки деления. Обозначим одну из них как точку Y и проведем через нее прямую параллельную СС1, которая пересекает луч AC в точке X. По доказанному    Заменим AY меньшей величиной AD, а AX большей величиной AB. Тогда    Отсюда    Что противоречит построению отрезка AD. Теорема доказана.