Многоугольники.


Ломанная


виды ломаных 

Ломаной A1A2A3 … An называется фигура, которая состоит из точек A1, A2, A3, …, An и соединяющие их отрезки A1A2, A2A3, …, An-1An. Точки A1, A2, A3, …, An – вершины ломаной, A1A2, A2A3, …, An-1An – звенья ломаной. Если ломаная не имеет пересечений, то такая ломаная называется простой. Если ломаная имеет пересечения, то она называется ломаная с самопересечением.

Выпуклые многоугольники


многоугольник 

Ломаная называется замкнутой, если ее концы соединены отрезком.
Если все звенья простой замкнутой ломаной не лежат на одной прямой, то это многоугольник. Тогда точки ломанной называются вершинами многоугольника, а звенья – сторонами многоугольника.
Многоугольник с n вершинами, называется n-угольником

многоугольник выпуклый 

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.A1A2A3A4A5A6A7 – выпуклый многоугольник. 

многоугольник невыпуклый 

B1B2B3B4B5 – невыпуклый многоугольник.


Выпуклые многоугольники. Свойство


Теорема. 

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°*(n-2). 

многоугольник выпуклый 

Доказательство. 

Нужно заметить, n ≥ 3. 
Для n = 3 многоугольник превращается в треугольник и теорема справедлива.
Для n > 3 проведем n-3 диагонали: A2An, A3An, …, An-1An. Получим n-2 треугольника: Δ A1A2An, Δ A2A3An, …, An-2An-1An. Сумма углов всех треугольников равна сумме углов многоугольника. Так как сумма углов треугольнике равна 180 ° и число треугольников равно n – 2, то сумма всех углов многоугольника равна 180° * (n - 2). Теорема доказана.
Правильные многоугольники


многоугольник правильный 

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. 

многоугольник вписанный в окружность 

Если все вершины многоугольника лежат на некоторой окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность. 

многоугольник описанный около окружности 

Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, то многоугольник называется описанным около окружности.
Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр, который называется центром многоугольника. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.
Формула для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников


многоугольник описанный около окружности 

Теорема. 

Сторона a правильного n-угольника связана с радиусом r вписанной окружности формулой 

Формула для радиусов вписанных окружностей  правильных многоугольников 

Доказательство. 

вычисление формулы для радиусов вписанных окружностей  правильных многоугольников 

Теорема доказана.
Формула для радиусов описанных окружностей правильных многоугольниковв


многоугольник вписанный в окружность 

Теорема. 

Сторона a правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой 

Формула для радиусов описанных окружностей  правильных многоугольников 

Доказательство. 

вычисление формулы для радиусов описанных окружностей  правильных многоугольников 

Теорема доказана.

Длина окружности


При неограниченном увеличении сторон правильного многоугольника его периметр приближается к периметру окружности. 

Окружность 

Теорема 

Отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности. 

Доказательство. 

Возьмем две произвольные окружности с радиусами R1 и R2 и длинами l1 и l2. предположим, что 

неравенство1 

Впишем в окружности правильные n-угольники. N настолько велико, что периметры p1 и p2 правильных многоугольников приближаются к длинам окружностей l1 и l2. Поэтому заменим длины окружностей на периметры, тогда 

неравенство2 

Но периметры правильных выпуклых n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей: 

пропорция1 

Что противоречит предположению. Теорема доказана. 

Отношение длины окружности к диаметру обозначается греческой буквой π. 

Отношение длины окружности к диаметру

Радианная мера угла


Радианная мера угла 

Пусть есть центральный угол n°. Развернутому углу соответствует длина полуокружности πR. Значит, углу в 1° соответствует дуга длины πR / 180, а углу в n° соответствует дуга длины. 

Радианная мера угла 

Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Следовательно, 

Радианная мера угла 

Из это видно, что радианная мера угла получается из градусной умножением на π/180°.

Комментариев нет:

Отправить комментарий