Многоугольники.

Ломанная

 

Ломаной A1A2A3 … An называется фигура, которая состоит из точек A1, A2, A3, …, An и соединяющие их отрезки A1A2, A2A3, …, An-1An. Точки A1, A2, A3, …, An – вершины ломаной, A1A2, A2A3, …, An-1An – звенья ломаной. Если ломаная не имеет пересечений, то такая ломаная называется простой. Если ломаная имеет пересечения, то она называется ломаная с самопересечением.

Выпуклые многоугольники

 

Ломаная называется замкнутой, если ее концы соединены отрезком.
Если все звенья простой замкнутой ломаной не лежат на одной прямой, то это многоугольник. Тогда точки ломанной называются вершинами многоугольника, а звенья – сторонами многоугольника.
Многоугольник с n вершинами, называется n-угольником. 

 

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.A1A2A3A4A5A6A7 – выпуклый многоугольник. 

 

B1B2B3B4B5 – невыпуклый многоугольник.

Выпуклые многоугольники. Свойство Теорема.  Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°*(n-2).    Доказательство.  Нужно заметить, n ≥ 3.  Для n = 3 многоугольник превращается в треугольник и теорема справедлива. Для n > 3 проведем n-3 диагонали: A2An, A3An, …, An-1An. Получим n-2 треугольника: Δ A1A2An, Δ A2A3An, …, An-2An-1An. Сумма углов всех треугольников равна сумме углов многоугольника. Так как сумма углов треугольнике равна 180 ° и число треугольников равно n – 2, то сумма всех углов многоугольника равна 180° * (n - 2). Теорема доказана. Правильные многоугольники   Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.    Если все вершины многоугольника лежат на некоторой окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность.    Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, то многоугольник называется описанным около окружности. Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр, который называется центром многоугольника. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра. Формула для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников   Теорема.  Сторона a правильного n-угольника связана с радиусом r вписанной окружности формулой    Доказательство.    Теорема доказана. Формула для радиусов описанных окружностей правильных многоугольниковв   Теорема.  Сторона a правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой    Доказательство.    Теорема доказана. Длина окружности При неограниченном увеличении сторон правильного многоугольника его периметр приближается к периметру окружности.    Теорема  Отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности.  Доказательство.  Возьмем две произвольные окружности с радиусами R1 и R2 и длинами l1 и l2. предположим, что    Впишем в окружности правильные n-угольники. N настолько велико, что периметры p1 и p2 правильных многоугольников приближаются к длинам окружностей l1 и l2. Поэтому заменим длины окружностей на периметры, тогда    Но периметры правильных выпуклых n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей:    Что противоречит предположению. Теорема доказана.  Отношение длины окружности к диаметру обозначается греческой буквой π.  Радианная мера угла   Пусть есть центральный угол n°. Развернутому углу соответствует длина полуокружности πR. Значит, углу в 1° соответствует дуга длины πR / 180, а углу в n° соответствует дуга длины.    Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Следовательно,    Из это видно, что радианная мера угла получается из градусной умножением на π/180°.