Углы.

Угол

Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки. 

 

Угол обозначается тремя точками «угол AOB»: берется одна любая точка на одном из лучей угла (точка А), вершина угла (точка О) и одна любая точка на другом луче угла (точка В). Можно обозначить это угол как «угол ВОА». Запись «угол АОВ» и «угол ВОА» обозначают один и тот же угол. В место слова угол употребляют знак ∠. Угол АОВ можно записать так: 

1. ∠АОВ, ∠ВОА ; 
2. ∠О – точка О вершина угла; 
3. ∠(ab) – a и b лучи угла. 

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая часть называется плоским углом. Дополнительными углами называются плоские углы с общими сторонами. 

 

Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Угол СОD – развернутый угол с вершиной О. 

 

Говорят, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. Луч с исходит из точки О, проходит между сторонами угла ab и пересекает отрезок АВ. 

Аксиома 

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. 

Углы измеряются в градусах. 

 

 

Угол (ab) равен сумме углов (ac) и (cb). ∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb). 

Аксиома 

От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. 



Виды углов

 Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами. На рисунке (a2b) и (a1b) смежные углы. 

Теорема Сумма смежных углов равна 180?. 

Доказательство. 

Пусть ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы. Полупрямая b разбивает развернутый угол (a1a2) на два угла. Значит ∠(a2b) + ∠(a1b) = ∠ (a1a2) = 180?. Т.е. сумма смежных углов равна 180?. Теорема доказана. 

 

Теорема 

Если два угла равны, то смежные с ним углы равны. 

Доказательство. 

Углы ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы и ∠(с2d) и ∠(с1d) тоже смежные углы. 
Пусть ∠(a1b) = ∠(с1d). Но из ранее доказанного следует, что ∠(a1b) + ∠(a2b) =180° и ∠(с1d) + ∠(с2d) =180°. Тогда ∠(a1b) =180° - ∠(a2b) и ∠(с1d) =180° - ∠(с2d). А углы ∠(a1b) и ∠(с1d) равны, следовательно 180° - ∠(a2b) =180° - ∠(с2d). Из этого видно, что ∠(a2b) = ∠(с2d). Теорема доказана. 

 

Угол называется острым, если его градусная мера которого больше 0°, но меньше 90°. 
Угол называется тупым, если его градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. 
Угол равный 90°, называется прямым. 
Если угол острый, то смежный с ним угол тупой и наоборот. 


Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла. Пары углов ∠(a2b2) и ∠(a1b1), ∠(a2b1) и ∠(a1b2) – вертикальные углы. 

Теорема. 

Вертикальные углы равны. 

Доказательство. 

Пусть ∠(a2b2) и ∠(a1b1) – вертикальные углы. Угол (a2b1) является смежным ∠(a2b2) и ∠(a1b1) и дополняет их до 180°, по теореме о сумме смежных углов, следовательно ∠(a2b2) и ∠(a1b1) равны. Теорема доказана. 

 

∠(a2b2) = ∠(a1b1), ∠(a2b1) = ∠(a1b2) . 

 

Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке O. 
Углом между прямыми a и b считается угол AOB.

Биссектриса угла Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между сторонами угла и делит угол пополам.